А.В. Путря
AH1088KA@yandex.ru
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Фрактальный анализ индекса фондового
рынка
Традиционная теория, рассматривающая временную структуру
волатильности фондового индекса, предполагает её нормальное рас-
пределение. Как правило, для измерения волатильности использует-
ся стандартное отклонение и полагается, что оно подвержено мас-
штабированию согласно корню из времени. Эта практика исходит из
теории Эйнштейна для броуновского движения. Тем не менее извест-
но, что это стандартное отклонение подвергается масштабированию
в более быстром темпе и рынок капитала недостаточно хорошо опи-
сывается нормальным распределением и теорией случайных блужда-
ний [1].
Как известно, классическое броуновское движение представляет
собой хорошую модель марковских случайных фракталов, для кото-
рых условная вероятность того, что X (t1) (t1 < t2) зависит только от
t1 и t2, а не от поведения X (t) при t < t1. В отличие от него вводит-
ся понятие фрактального броуновского движения, которое является
процессом, обладающим некоторой памятью [2]. Предполагается, что
фрактальное броуновское движение описывает рынок капитала бо-
лее точно, нежели случайное. Целью этой работы является проверка
данного утверждения.
В работе временная структура волатильности исследуется путём
построения диаграммы зависимости логарифма стандартного откло-
нения прибылей за определённые периоды от логарифма величины
этих периодов. Для анализа используется динамика ежедневного ин-
декса Доу-Джонса на протяжении 20 лет. Показано, что волатиль-
ность в краткосрочном периоде действительно растёт более быстры-
ми темпами, нежели корень из времени, как и предполагается во
фрактальной теории. Таким образом, если думать о риске как о стан-
дартном отклонении, то инвесторы несут больше риска, чем подразу-
мевается стандартным отклонением для краткосрочных инвестици-
онных горизонтов, в то время как долгосрочные инвесторы несут все
меньшие риски.
Стандартная гауссова статистика работает на основе весьма огра-
ничивающих предположений. А именно, случайные величины долж-
ны быть независимыми и одинаково распределенными для того, что-
бы предельное распределение было нормальным. Если же система не
является таковой, требуется внесение корректировок для создания
статистических структур, которые, не являясь IID, являются доста-
точно близкими к ним, так что стандартные методы могут приме-
няться к ним с некоторыми видоизменениями.
В такой ситуации используется методология, открытая Херстом,
называемая методом нормированного размаха, или R/S анализом.
Этот анализ применяется для различения случайного временного ря-
да и фрактального временного ряда [3].
В данной работе предполагается провести R/S анализ для еже-
дневного индекса Доу-Джонса в течение 20 лет. Значение R/S изме-
няет масштаб по мере увеличения нами приращения времени соглас-
но некоторому значению степенной зависимости, называемому H, а
именно, показателем Херста. Стоит отметить, что все фракталы из-
меняют масштаб согласно степенной зависимости и именно в этом
проявляется фрактальная структура индекса.
По определению, процесс X (t) называется фрактальным броунов-
ским движением с параметром H, 0 < H < 1, если он обладает свой-
ством гауссовости приращений: случайная величина
ΔX (t) = X (t2) − X (t1)
имеет гауссовское распределение с нулевым математическим ожида-
нием и дисперсией σ2 (t2 − t1)2H, где t1 < t2, σ — положительная
константа. Если X (t) есть фрактальное броуновское движение с па-
раметром H, то приращения X (t) независимы тогда и только тогда,
когда H = 0,5 [2]. Как видно, при H = 0,5 фрактальное броуновское
движение совпадает с классическим броуновским движением, кото-
рое, как уже было сказано, является марковским процессом.
В зависимости от значения параметра H (показателя Херста), вре-
менной ряд обладает
— персистентностью (0,5 − 1), то есть наличием долговременной
памяти. В этом случае X (t) − X (0) и X (t + h) − X (t), скорее все-
го, имеют одинаковые знаки, и функция X (t) обычно возрастает в
будущем, если она возрастала в прошлом;
— антиперсистентностью (0 − 0,5). В этом случае функция X (t)
обычно убывает в будущем, если она возрастала в прошлом, то есть
X (t) − X (0) и X (t + h) − X (t), скорее всего, имеют различные зна-
ки [2].
Финальным этапом данной работы предполагается нахождение ве-
личины показателя Херста H из R/S анализа временного ряда индек-
са Доу-Джонса. Предполагается, что временной ряд должен демон-
стрировать явление персистентности Херста.
Статистически говоря, временная структура волатильности пока-
зывает, что фондовый рынок не является случайным блужданием.
Процесс, который производит наблюдаемую временную структуру
волатильности, явно не гауссов, так как он недостаточно хорошо описывается нормальным распределением.